(f + g)(t) = f(t) + g(t)
把两段声音对齐，在每个时刻将振幅相加。比如，人声加旋律得到混音。
LINEAR ALGEBRA · SOUND LAB
混在一起，还能分开吗？
调整两条音轨的混音比例，听一听，再用消元找回原声。
01原始音轨
人声 v一段合成朗读
0:00
旋律 m一段合成乐曲
0:00
02混音工作台
也可以拖动下方滑杆
混音 uu = v + m
0:00
混音 ww = v + 2m
0:00
负系数会把波形上下翻转；0 表示不加入这条音轨。
03用消元找回原声
对两条混音做同样的行变换，看看最后会留下什么。
准备就绪
从你设置的混音比例出发
右侧的单位矩阵记录我们对混音做了哪些操作。
人声 / 旋律系数对 u / w 的操作
相同的混音，可以来自不同的原声
恢复人声 v
完成消元后查看
将与原始人声对照
恢复旋律 m
完成消元后查看
将与原始旋律对照
04用线性组合，调出不同音色
同一个音高，也能听起来柔和、空灵或明亮。先播放，再拖动谐波系数试试。
正弦波相加，波形也变了
显示两个基音周期合成波形基音 h₁纵轴：原始振幅
当前线性组合
s = h₁
系数向量 (1, 0, 0, 0, 0, 0)
点击播放后，可以边拖动边听。
试听时如何处理音量？
开启后，会对合成声音整体缩放，使长音的均方根振幅一致；各谐波之间的比例不变，主观响度仍可能不同。关闭后使用固定播放增益，更直接地听到振幅随系数变化。公式和图始终显示缩放前的线性组合。
这里的“声音向量”是什么？
长音实验取 hₖ(t) = sin(2π · k · 220t)。每个 hₖ 都是一条完整的正弦波；它的频率是基音的 k 倍，称为第 k 次谐波。改变它们的组合比例，就能改变音色。
从调音色，回到线性空间
六条波形的线性组合构成 span{h₁, …, h₆}。本环节固定 h₁ 的系数为 1，调节其余系数来比较音色；允许全部系数取任意实数，才得到完整的线性空间。
听短旋律时，每个音符沿用同一组谐波比例；图与频率标签展示的是 220 Hz 长音。预设用于比较合成音色，并非真实乐器的仿真。
05 · 从声音实验，走进线性空间
为什么整段声音，也可以是向量？
刚才的消元里，等号两边有时是人声，有时是旋律。调音色时，我们又把几条正弦波组合起来。它们并不是一个数，却仍然能相加、数乘、抵消。线性空间研究的，就是这些运算共同遵守的规律。
01
先把声音看成一条完整波形
固定同一段时间 0 ≤ t ≤ T，用 f(t) 表示时刻 t 的振幅。
(αf)(t) = αf(t)
把每个时刻的振幅都乘同一个实数。0.5f 把振幅减半；−f 把波形上下翻转。
负数倍是波形反相，并非倒放；乘以 2 指振幅变成两倍，并不表示主观听感的响度恰好变成两倍。
02
实线性空间：一个集合，两种运算，八条规律
其中的元素叫作“向量”。向量可以是数列、函数、矩阵，也可以是我们正在研究的声音波形。
给定一个非空集合 V，在其中定义加法和实数数乘。首先要求运算封闭：对任意 x, y ∈ V 和 α ∈ ℝ，
x + y ∈ V， αx ∈ V。
也就是说，运算结果仍在这个集合里。若再满足下面八条规律，就称 V 为实线性空间，也叫实向量空间。
下面 x、y、z 是 V 中任意元素，α、β 是任意实数。右侧的声音解释都指对齐后的理想波形。
加法交换律
x + y = y + x两段对齐的波形相加时，交换相加顺序，结果不变。
加法结合律
(x + y) + z = x + (y + z)三条音轨分组叠加，最终得到同一条波形。
存在零向量
存在 0 ∈ V，使 x + 0 = x全程振幅为 0 的静音就是零向量；加入静音不改变原声。
每个向量都有相反向量
每个 x 都有 −x ∈ V，使 x + (−x) = 0原波形与它的反相波形逐点相加，恰好抵消成静音。
数乘单位律
1x = x振幅乘以 1，仍是原来的声音。
数乘结合律
α(βx) = (αβ)x先缩小到一半，再放大两倍，振幅回到原样。
数乘对向量加法的分配律
α(x + y) = αx + αy先混音再缩放，等于把各条音轨同样缩放后再混音。
数乘对实数加法的分配律
(α + β)x = αx + βx0.3 倍人声加 0.7 倍同一人声，正好得到原人声。
声音为什么满足这些要求？
取 V = C([0, T], ℝ)，即这段时间内所有实值连续波形的集合。两条连续波形相加、乘实数后仍连续，所以运算封闭；静音和反相波形也都在其中。其余等式在每个时刻都化为实数的运算规律，因此对整条波形成立。
这里使用不限制振幅大小的理想模型。若强行要求振幅始终在 −1 到 1 之间，放大后就可能超出范围，这样的集合对数乘不封闭。
03
两条音轨，能组成一个怎样的空间？
只用固定的人声 v 和旋律 m，把所有可能的混音收集起来。
由 v、m 张成的空间
W = span{v, m}
= {av + bm : a, b ∈ ℝ}
= {av + bm : a, b ∈ ℝ}
它是声音空间的一个子空间：其中的元素是声音，并且相加、数乘后仍留在 W 中。
为什么仍留在里面？
若 u = av + bm，w = cv + dm，那么
u + w = (a + c)v + (b + d)m
ku = (ka)v + (kb)m。
ku = (ka)v + (kb)m。
结果仍是 v、m 的线性组合。取 a = b = 0，还能得到静音。
你现在设置的两条混音
u = v + mw = v + 2m
右图画的是它们的混合系数 (a, b)，不是声音的时间—振幅波形。一个点对应一整段混音。
如果 v、m 线性无关，也就是 αv + βm = 0 只能在 α = β = 0 时成立，那么每段混音的系数唯一。此时 {v, m} 是 W 的一组基，W 的维数为 2，(a, b) 就是声音 av + bm 在这组基下的坐标。
“二维”表示只需两个独立的系数来描述 W 中的声音，不是每段声音只有两个采样值。滑杆的 −3 到 3 只是展示范围；完整的 W 允许任意实系数。
04
既然能写成坐标，为什么还要讲线性空间？
坐标帮助我们计算，线性空间帮助我们识别不同对象背后的同一套结构。
N 个采样值：ℝᴺ
f ↦ (f(t₁), …, f(tN))
固定采样时刻后，把振幅排成一列。本网页的数字音频确实在 ℝᴺ 中做运算；混音就是对应位置相加、数乘。
两个混音系数：ℝ²
av + bm ↔ (a, b)
当 v、m 线性无关时，只需两个数描述它们张成的空间。换一组基，同一段声音的坐标可能改变，声音本身不变。
一个函数：C([0, T], ℝ)
t ↦ f(t)
这里保留每个时刻的振幅。有限个采样值无法唯一确定任意连续波形；整个连续函数空间也无法由固定有限个基波形张成。
把共同规律提炼出来，才可以把同一个方法用于不同对象。
有限维实线性空间选好基后，都可以用 ℝⁿ 的坐标来计算。但在选坐标之前，我们就能研究声音、矩阵、多项式的相加与数乘；对于整个连续函数空间，还需要容纳无限维情形。线性空间让我们把这些情况放在同一套理论中讨论。
05
回看消元：我们一直在使用这些规律
以“可逆混音”预设 u = v + m、w = v + 2m 为例：
w − u = (v + 2m) − (v + m) = m
2u − w = 2(v + m) − (v + 2m) = v
这里用到分配律、结合律和相反向量的抵消。它们对整段声音成立，所以消元能直接找回音轨。线性代数的方法能处理声音，正是因为声音的这些运算具有线性空间的结构。
回到混音工作台再试一次